设函数f（x）在R+上有界且可导，则（）A．当limx→+∞f（x）=0时，必有limx→+∞f′（x）=0B．当limx→+∞f′（x）存在时，必有limx→+∞f′（x）=0C．当limx→0+f（x）=0时，必有limx→0+f′（x

Question

设函数f（x）在R⁺上有界且可导，则（　　）

A．当

lim

x→+∞

f（x）=0时，必有

lim

x→+∞

f′（x）=0
B．当

lim

x→+∞

f′（x）存在时，必有

lim

x→+∞

f′（x）=0
C．当

lim

x→0+

f（x）=0时，必有

lim

x→0+

f′（x）=0
D．当

lim

x→0+

f′（x）存在时，必有

lim

x→0+

f′（x）=0

Answer 1

对于某一点，函数和导函数之间没有关系，故选项C、D错误；对于A、B，不妨用反证法．
若

lim

x→+∞

f′(x)≠0，不妨设

lim

x→+∞

f′(x)＝l＞0，从而存在X＞0，当x＞X时，有f′(x)＞(l)/(2)，对任意x＞X+1，在[X+1，x]上由拉格朗日中值定理可得：
f（x）-f（X+1）=f'（ξ）（x-X-1），ξ∈（X+1，x）
故有f（x）-f（X+1）＞(l)/(2)（x-X-1），
所以，

lim

x→+∞

f(x)＝∞，与f(x)有界矛盾，因此，

lim

x→+∞

f′(x)＝0
故选：B．