（本小题满分12分）已知函数，若存在恒成立，则称的一个“下界函数”.（I）如果函数的一个“下界函数”，求实数t的取值范围；（II）设函数，试问函数F(x)是否存在零点？若存在

Question

（本小题满分12分）已知函数，若存在恒成立，则称的一个“下界函数”.

（I）如果函数的一个“下界函数”，求实数t的取值范围；

（II）设函数，试问函数F(x)是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.

 

 

Answer 1

(I)解析：恒成立，即恒成立.

令  由得，                （3分）

当时，在上是减函数，当时，

在上是增函数，

                                          （6分）

（2）解法一：由（1）知

，①                          （9分）

令，则由得

则当时，在上是减函数，

时，在上是增函数.

，②

，

①②中等号取到的条件不同，函数不存在零点。

 

解法二：假设F(x)存在零点，即上有解

∴

令

若是减函数

若是增函数

再令

若是增函数

若是减函数

  又∵两个函数取到最值的条件不同

  ∴函数F(x)不存在零点.