∫（下限1上限x）tf（t）dt=xf(x)+x^2求f（x)微分方程的谢谢

Question

∫（下限1上限x）tf（t）dt=xf(x)+x^2求f（x) 微分方程的谢谢

Answer 1

因∫[1,x]tf(t)dt=xf(x)+x^2 (1)
对x求导得：xf(x)=f(x)+xf'(x)+2x
即f'(x)+(1-x)/x*f(x)=-2
f(x)=e^(-∫(1-x)/xdx[∫-2e^(∫(1-x)/xdx)dx+C]
=e^(-lnx+x)[∫-2e^(lnx-x)dx+C]
=e^x/x[-2∫xe^(-x)dx+C]
=e^x/x[2∫xde^(-x)+C]
=e^x/x[2xe^(-x)-2∫e^(-x)dx+C]
=e^x/x[2xe^(-x)+2e^(-x)+C]
=2+2/x+Ce^x/x
由(1)得0=f(1)+1,从而C=-5
代入得：f(x)=2+2/x-5e^x/x