已知齐次线性微分方程的基本解组x1,x2,求方程对应的非齐次线性微分方程的通解x''-x=cost，x1=e^t,x2=e^-t

Question

已知齐次线性微分方程的基本解组x1,x2,求方程对应的非齐次线性微分方程的通解x''-x=cost，x1=e^t,x2=e^-t

Answer 1

∵x1=e^t和x2=e^(-t)是齐次方程x"-x=0的基本解组
∴此齐次方程的通解是x=C1x1+C2x2=C1e^t+C2e^(-t) (C1,C2是常数)
∵设x=Acost+Bsint是原方程x"-x=cost的解
代入原方程，化简得-2(Acost+Bsint)=cost
==>-2A=1，-2B=0
==>A=-1/2，B=0
∴x=-cost/2是原方程的一个特解
故方程x"-x=cost的通解是x=C1e^t+C2e^(-t)-cost/2。