求微分方程xdydx=x-y满足条件y|x＝2=0的特解．

Question

求微分方程x(dy)/(dx)=x-y满足条件y|x＝√(2)=0的特解．

Answer 1

对于微分方程 x(dy)/(dx)=-y，
分离变量可得
(dy)/(y)＝−(dx)/(x)，
两边积分，可得
ln|y|=-ln|x|+C，
即有 y＝(C)/(x)．
利用常数变易法，设原微分方程的通解为 y＝(C(x))/(x)，
则 (dy)/(dx)＝(xC′(x)−C(x))/(x2)．
代入微分方程中可得，
C′（x）=x，
故 C(x) ＝ (1)/(2)x2+C，
从而，原微分方程的通解为 y＝(C(x))/(x)=(1)/(2)x+(C)/(x)．
由初值条件 y|x＝√(2)=0 可得 C=-1．
故所求特解为 y＝(1)/(2)x−(1)/(x)．