线性代数非齐次线性方程组求解问题例如有如下一个增广矩阵求其通解（方程我就省略了）110002110000书上的常规方法是X1+X2=0；2X2=1-X3此时要求一个特解令自由变量X3=0则特解为

Question

线性代数非齐次线性方程组求解问题
例如有如下一个增广矩阵 求其通解（方程我就省略了）
1 1 0 0
0 2 1 1
0 0 0 0
书上的常规方法是 X1+X2=0；2X2=1-X3 此时要求一个特解 令自由变量X3=0 则特解为 （-1/2，1/2,0）（转置）
然后 导出组的方程为 X1+X2=0；2X2=-X3 令X3=1 则求其对应齐次方程的通解为 k（1/2，-1/2，1）（转置）
另外一种解法是 在X1+X2=0；2X2=1-X3 中 令X3=1 得特解 （0，0，1）（转置） 在 X1+X2=0；2X2=-X3 中 令X3=-2 得通解 （-1，1，-2）（转置）

第一 请问 第一种方法是常规的 第二种是一道题里的做法 这两种方法都是对的吗？是不是随便令自由变量X等于什么都可以？是不是令不同的值得出的答案不同却都是正确的呢？
第二 请问 是不是矩阵最后化简的形式不一样求出的解也会不一样但都是对的呢？

Answer 1

你的想法是对的。
第一个，X是可以随便取，但为了答案简洁明了，并且保证通解时变量不全取0（变量全取0是特解），我们会将其中一个置零，又为了写出来好看些，我们一般取合适的值使左边的因变量是整数。所以，事实上通解中变量只要是取不全为零的数就行，因为你在通解的左边会乘一个常数K，从而保证通解的普遍性。
第二个，那得是看哪里的矩阵了。在求极大无关组时，矩阵的化简形式不唯一，答案可能也会有所不同；在求方程的解时，因为只能行变换，而且要化成标准型，所以矩阵的化简结果应该是唯一的，但通解形式不唯一，上面说过了，而特解形式定是唯一的。