求线性方程组x1-x2+3x3+x4+x5=02x1+x2+3x3+3x4+2x5=1x1+2x2+x4+4x5=3的全部解要求用其特解及其导出组的基础解系表示全部解

Question

求线性方程组 x1-x2+3x3+x4+x5=0 2x1+x2+3x3+3x4+2x5=1 x1+2x2+x4+4x5=3的全部解
要求用其特解及其导出组的基础解系表示全部解

Answer 1

写出增广矩阵为
1 -1 3 1 1 0
2 1 3 3 2 1
1 2 0 1 4 3 第2行减去第1行×2,第3行减去第1行
1 -1 3 1 1 0
0 3 -3 1 0 1
0 3 -3 0 3 3 第3行减去第2行,第2行减去第3行,第3行除以3
1 -1 3 1 1 0
0 0 0 1-3 -2
0 1 -1 0 1 1 第1行加上第3行,交换第2和第3行
1 0 2 1 2 1
0 1 -1 0 1 1
0 0 0 1-3 -2 第1行减去第3行
1 0 2 0 5 3
0 1 -1 0 1 1
0 0 0 1-3 -2
得到特解为(3,1,0,-2,0)^T,
而秩为3,那么通解有5-3=2个向量
即(-2,1,1,0,0)^T和(-5,-1,0,3,1)^T
所以方程组的解为
c1*(-2,1,1,0,0)^T+c2*(-5,-1,0,3,1)^T+(3,1,0,-2,0)^T
c1、c2为常数