已知η是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1．ξ2，…，ξn-r是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系．证明：（Ⅰ）η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn-r是Ax=b的n-r+1个线性无关解；（Ⅱ）方程组Ax=b的

Question

已知η是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ₁．ξ₂，…，ξ_n-r是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系．证明：
（Ⅰ）η，η+ξ₁，η+ξ₂，…，η+ξ_n-r是Ax=b的n-r+1个线性无关解；
（Ⅱ）方程组Ax=b的任一个解均可由η，η+ξ₁，η+ξ₂，…，η+ξ_n-r线性表出．

Answer 1

（Ⅰ）
∵η是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解
∴Aη=b
∵
ξ₁ξ₂，…，ξ_n-r是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系
∴Aξ_i=0 （i=1，…，n-r）
∴A（η+ξ_i）=b即η，η+ξ₁，η+ξ₂，…，η+ξ_n-r是Ax=b的n-r+1个解
令k₀η+k₁（η+ξ₁）+…+k_n-r（η+ξ_n-r）=0
∴（k₀+k₁+…+k_n-r）Aη=-k₁Aξ₁-…-k_n-rAξ_n-r=0
∴k₀+…+k_n-r=0
∵ξ₁．ξ₂，…，ξ_n-r是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系
∴k₁=…=k_n-r=0
∴k₀=0
∴η，η+ξ₁，η+ξ₂，…，η+ξ_n-r是Ax=b的n-r+1个线性无关解．
（Ⅱ）
令ξ是AX=b的一个任意解
∴Aξ=b
下证ξ可由η，η+ξ₁，…，η+ξ_n-r 线性表示
令ξ=l₀η+l₁（η+ξ₁）+…+l_n-r（η+ξ_n-r）
∴ξ=（l₀+l₁+…+l_n-r）η+l₁ξ₁+…+l_n-rξ_n-r
等式两边同时取A，
∴Aξ=（l₀+l₁+…+l_n-r）Aη+l₁Aξ₁+…+l_n-rAξ_n-r
∴b=（l₀+l₁+…+l_n-r）b
∴l₀+l₁+…+l_n-r=1
∴l₀，l₁，…，l_n-r不全为零
∴ξ可由η，η+ξ₁，…，η+ξ_n-r 线性表示
由（Ⅰ）知η，η+ξ₁，η+ξ₂，…，η+ξ_n-r是Ax=b的n-r+1个线性无关解．
∴方程组Ax=b的任一个解均可由η，η+ξ₁，η+ξ₂，…，η+ξ_n-r线性表出．