已知矩阵A＝1a−3−14−31−25的特征值有重根，判断A能否相似对角化，并说明理由．

Question

已知矩阵A＝

1	a	−3
−1	4	−3
1	−2	5

的特征值有重根，判断A能否相似对角化，并说明理由．

Answer 1

由于A的特征多项式|λE−A|＝

.

λ−1	−a	3
1	λ−4	3
−1	2	λ−5

.

=（λ-2）（λ²-8λ+10+a）=0
由于A的特征值有重根
∴△=64-4（10+a）=0
∴a=6
∴矩阵A＝

1	6	−3
−1	4	−3
1	−2	5

的特征值为λ₁=2，λ₂=λ₃=4
下面求对应的特征向量
当特征值为λ₁=2时，2E−A＝

1	−6	3
1	−2	3
−1	2	−3

作业帮用户 2017-10-06

问题解析

首先，根据矩阵特征值和特征向量的定义，求出A的特征值；然后利用特征值有重根，求出a的值；最后，再根据“n阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件为矩阵有n个线性无关的特征向量”，判断A是否可以对角化．

名师点评

本题考点：

矩阵可相似对角化的充分必要条件．

考点点评：

此题考查特征值和特征向量的求法以及矩阵相似对角化的充要条件，是基础知识点的综合．

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