从1~100这一百个自然数中,选出十个,使它们的倒数之和为1

Question

从1~100这一百个自然数中,选出十个,使它们的倒数之和为1

Answer 1

根据：1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9-1/9-1/10=1-1/10
所以：1=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/10
所以十个数是：2.6.10.12.20.30.42.56.72.90.
或者：
1=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9
-1/10+1/10
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+(1/5-1/6)+(1/6-1/7)
+(1/7-1/8)+(1/8-1/9)+(1/9-1/10)+1/10每两个分成一组
=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/10
这是数列中的列项相消法
2.等比数列法
1=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/32[还只有6项,再拆]
1/2=3/6=1/6+2/6=1/6+1/3
1/4=5/20=1/20+4/20=1/20+1/5
1/8=9/72=3/72+6/72=1/24+1/12
1/32=3/96=1/96+2/96=1/96+1/48
代入
1=1/6+1/3+1/20+1/5+1/24+1/12+1/16+1/32+1/96+1/48