求二元函数y^3-X^2-6X-12Y的极值

Question

求二元函数 y^3-X^2-6X-12Y 的极值

Answer 1

设 z=y³-x²-6x-12y,
∂z/∂x=-2x-6=0,得驻点 x=-3；∂z/∂y=3y²-12=0,得驻点 y=±2；
驻点坐标 (-3,-2)、(-3,2)；
点(-3,-2)：A=∂²z/∂²x=-2<0,C=∂²z/∂²y=6y=-12,B=∂²z/∂x∂y=0；
⊿=AC-B²>0,该处有极大值：z=(-2)³-(-3)²-6*(-3)-12*(-2)=-8-9+18+24=25；
点(-3,2)：A=∂²z/∂²x=-2<0,C=∂²z/∂²y=6y=12>0,B=∂²z/∂x∂y=0；
⊿=AC-B²<0,该处非极值点；