空间3个面两两垂直的四面体侧面与底面夹角分别为α,β,γ,请证明三个角的余弦值的平方的和等于1

Question

空间3个面两两垂直的四面体侧面与底面夹角分别为α,β,γ,请证明三个角的余弦值的平方的和等于1

Answer 1

设四面体A-BCD中,AB⊥AC,AC⊥AD,AD⊥AB.并设AB=a,AC=b,AD=c.
过点A作平面BCD上的垂线,垂足为点O.连接BO并延长交CD于点M,连接AM；连接CO并延长交BD于点N,连接AN；连接DO并延长交BC于点P,连接AP.
因BA⊥平面CAD,故BA⊥CD,又AO⊥CD,故CD⊥平面ABM,故AM⊥CD,BM⊥CD,则