如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=2，PB⊥PD．（1）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；（2）求二面角P-A

Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=√(2)，PB⊥PD．
（1）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AB-C的大小；
（3）设点M在棱PC上，且(PM)/(MC)＝λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．

Answer 1

∵PO⊥平面ABCD，
以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，√(2)）．
（1）∵

PD

＝(0，−1，−√(2))，

BC

＝(−1，−2，0)，
∴

|

PD

|＝√(3)，|

BC

|＝√(5)

.

，

PD

•

作业帮用户 2016-12-10

问题解析

（1）以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，要求两条异面直线所成的角，在两条异面直线上构造方向向量，根据两条向量的夹角得到结果．
（2）设出平面的法向量，根据法向量与平面上的两条相交直线对应的向量垂直，列出关系式，写出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角得到面面角．
（3）设出M点的坐标，根据三点共线与垂直，得到关于未知数的方程组，解出方程组得到点M的坐标，求出对应的λ的值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查空间中直线与平面之间的关系，用空间向量求解夹角，本题解题的关键是建立坐标系，把理论的推导转化成数字的运算，降低了本题的理论推导的难度．

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