把一个周长为24cm的长方形围成一个圆柱（即作为圆柱的侧面），当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为（）A．2：1B．л：1C．1：2D．2：л

Question

把一个周长为24cm的长方形围成一个圆柱（即作为圆柱的侧面），当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为（　　）

A．2：1
B．л：1
C．1：2
D．2：л

Answer 1

设圆柱高为x，即长方形的宽为x，
则圆柱底面周长即长方形的长为((24−2x))/(2)=12-x，
∴圆柱底面半径：R=(12−x)/(2π)
∴圆柱的体积V=πR²h=π（(12−x)/(2π)）²x=(x3−24x2+144x)/(4π)，
∴V′=(3x2−48x+144)/(4π)=(3(x−4)(x−12))/(4π)，
当x＜4或x＞12时，V'＞0，函数单调递增；
当4＜x＜12时，y'＜0，函数单调递减；
当x＞12时，函数无实际意义
∴x=4时体积最大
此时底面周长=12-x=8，
该圆柱底面周长与高的比：8：4=2：1
故选：A