定积分求证设f(x)、g(x)在[-a,a](a>0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件：f(x)+f(-x)=A（A为常数）求证：∫f(x)g(x)dx=A∫g(x)dx

Question

定积分求证
设f(x)、g(x)在[-a,a](a>0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件：
f(x)+f(-x)=A（A为常数）
求证：∫f(x)g(x)dx=A∫<0,a>g(x)dx

Answer 1

∫f(x)g(x)dx=∫f(x)g(x)dx+∫<0,a>f(x)g(x)dx
∫f(x)g(x)dx=-∫f(-t)g(-t)dt……设x=-t
=∫<0,a>f(-t)g(-t)dt……g(x)偶函数
=∫<0,a>f(-x)g(x)dx……积分和用t还是x表示无关.
∫f(x)g(x)dx=∫<0,a>f(-x)g(x)dx+∫<0,a>f(x)g(x)dx
=∫<0,a>[f(-x)+f(x)]g(x)dx=A∫<0,a>g(x)dx