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定积分求证设f(x)、g(x)在[-a,a](a>0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件：f(x)+f(-x)=A（A为常数）求证：∫f(x)g(x)dx=A∫g(x)dx
题目详情
定积分求证
设f(x)、g(x)在[-a,a](a>0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件：
f(x)+f(-x)=A（A为常数）
求证：∫f(x)g(x)dx=A∫<0,a>g(x)dx
设f(x)、g(x)在[-a,a](a>0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件：
f(x)+f(-x)=A（A为常数）
求证：∫f(x)g(x)dx=A∫<0,a>g(x)dx
▼优质解答
答案和解析
∫f(x)g(x)dx=∫f(x)g(x)dx+∫<0,a>f(x)g(x)dx
∫f(x)g(x)dx=-∫f(-t)g(-t)dt……设x=-t
=∫<0,a>f(-t)g(-t)dt……g(x)偶函数
=∫<0,a>f(-x)g(x)dx……积分和用t还是x表示无关.
∫f(x)g(x)dx=∫<0,a>f(-x)g(x)dx+∫<0,a>f(x)g(x)dx
=∫<0,a>[f(-x)+f(x)]g(x)dx=A∫<0,a>g(x)dx
∫f(x)g(x)dx=-∫f(-t)g(-t)dt……设x=-t
=∫<0,a>f(-t)g(-t)dt……g(x)偶函数
=∫<0,a>f(-x)g(x)dx……积分和用t还是x表示无关.
∫f(x)g(x)dx=∫<0,a>f(-x)g(x)dx+∫<0,a>f(x)g(x)dx
=∫<0,a>[f(-x)+f(x)]g(x)dx=A∫<0,a>g(x)dx
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