y=f(x)在x=x○的某临域内具有三阶连续导数,如果f''(x○)=0,而f'''(x)≠0,试问x○是否为拐点?为什么

Question

y=f(x)在x=x○的某临域内具有三阶连续导数,如果f''(x○)=0,而f'''(x)≠0,试问x○是否为拐点?为什么

Answer 1

y=f(x)在x=x○的某邻域内具有三阶连续导数,f'''(x)≠0,
在x=x○的某邻域内f'''(x)不变号,即 f'''(x) >0 或 f'''(x) < 0,
即有在x=x○的某邻域内f ''(x) 单调,
如果f ''(x○)=0,则在x=x○的两侧 f ''(x) 改变符号,曲线的凹凸性发生改变,
于是（x○,f(x○)) 是曲线的拐点 .