下列4个命题：①设（x0，f（x0））是y=f（x）的拐点，则x=x0不是f（x）的极值点．②设x=x0是f（x）的极小值点，f（x）在x=x0二阶可导，则f′（x0）=0，f″（x0）＞0③设f（x）在（a，b）只有一

Question

下列4个命题：
①设（x₀，f（x₀））是y=f（x）的拐点，则x=x₀不是f（x）的极值点．
②设x=x₀是f（x）的极小值点，f（x）在x=x₀二阶可导，则f′（x₀）=0，f″（x₀）＞0
③设f（x）在（a，b）只有一个驻点x₀，且x₀是f（x）的极小值点，则f（x₀）是f（x）在（a，b）的最小值．
④若f′（b）＜0，则f（b）不是f（x）在[a，b]的最大值．
中正确的共有（　　）

A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer 1

①假设（x₀，f（x₀））是y=f（x）的拐点，且设曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处有切线，如果切线不是水平的，则x₀一定不是f（x）的极值点；如果切线是水平的，则按照拐点的定义“凸弧与凹弧的分界点”，拐点附近的曲线位于切线的两侧，因此在x₀的任意邻域，既有大于f（x₀）的点又有小于f（x₀）的点，即x=x₀不是f（x）的极值点．
但是如果曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处没有切线，设f(x)＝

√(x)	，0＜x≤1
(x−2)2	，1＜x≤2

，显然（1，f（1））是其拐点，x=1也是极值点
故①错误．
②假设f（x）=x⁴，显然x=0是其极小值点，且f'（0）=0，但f″（0）=12x²|_x=0=0，故②错误．
③必须要保证f（x）在（a，b）连续才成立，设f(x)＝

x	，−2≤x＜0
(x−1)2	0≤x≤2

，显然x=1是f（x）在（-2，2）的唯一驻点，但f（1）不是f（x）在（-2，2）的最小值．
故③错．
④由于f′−(b)＝

lim

x→b−

(f(x)−f(b))/(x−b)＜0，根据极限的保号性可知，∃δ＞0，使得x∈（b-δ，b），有(f(x)−f(b))/(x−b)＜0，即f（x）＞f（b）
因此，f（b）不是f（x）在[a，b]的最大值．
故④正确．
故选：B