恰当微分条件是什么?

Question

恰当微分条件是什么?

Answer 1

恰当方程 exact equation
一种微分方程,它可以直接解出而不需要用到这学科的任何特殊技巧.单变量的一阶微分方程称为恰当方程或恰当微分方程,如果它是简单微分的结果.方程P(x,y)y′＋Q(x,y)=0〔或者等价地P(x,y)dy＋Q(x,y)dx=0〕是恰当方程,如果Px(x,y)=Qy(x,y).这时,存在函数R(x,y),它对x的偏微商为P,对y的偏微商为Q,结果方程R(x,y)=c(c为常数)将定义隐函数y,它满足原来的微分方程.
例如,在方程(x2＋2y)y′＋2xy＋1=0中,P=x2＋2y对x的偏微商是2x,而Q=2xy＋1对y的偏微商也是2x,函数R=yx2＋x＋y2满足条件Rx=P与Ry=Q,从而由yx2＋x＋y2=c所定义的隐函数是原方程的解.有时一个方程不是恰当的,但可以用一个适当的函数乘每一项使它成为恰当的,这个适当的函数称为一个积分因子,通常它由1/(Px±Qy)给出.
例如,方程3y＋2xy′=0用1/5xy去乘,变成3/x＋2y′/y=0,它是方程3ln x＋2ln y=c的直接微分的结果.这方程可以写成x3y2=c,它定义的隐函数满足原来的微分方程.高阶方程也可以称为恰当方程,如果它是一个较低阶的方程微分的结果.例如,二阶方程p(x)y″＋q(x)y′＋r(x)y=0是恰当的,假如存在一阶表达式p(x)y′＋s(x)y,使它的微分恰好等于给定的方程的左方.因此这个方程是恰当的,当且仅当p″-q′＋r=0,这时上面的s等於q-p′.如果方程不是恰当的,可能存在z(x)(也称为积分因子),使得方程乘以z后变成恰当的.