为什么说由全微分的定义,函数在某点处可微则在该点连续

Question

为什么说由全微分的定义,函数在某点处可微则在该点连续

Answer 1

　　由全微分的定义容易证明：若函数 f(x,y) 在 (x0,y0) 可微,有
　　　　f(x0+Δx,y0+Δy) - f(x0,y0) = AΔx + BΔy + o(ρ),
其中ρ = √[(Δx)^2 + (Δy)^2],即有
　　　　f(x0+Δx,y0+Δy) - f(x0,y0)→0 (ρ→0),
即
　　　　lim(ρ→0)f(x0+Δx,y0+Δy) = f(x0,y0),
即f(x,y) 在 (x0,y0) 连续.