函数u=xy2z在点P（1，-1，2）处沿方向的方向导数值最大，最大的方向导数值为2121．

Question

函数u=xy²z在点P（1，-1，2）处沿______方向的方向导数值最大，最大的方向导数值为

√(21)

√(21)

．

Answer 1

由u=xy²z，得gradu（1，-1，2）=(ux，uy，uz)|(1，-1，2)=(y2z，2xyz，xy2)|(1，-1，2)=（2，-4，1）
而方向导数(∂u)/(∂l)|M0=(u′x|M0，u′y|M0，u′z|M0)•(cosα，cosβ，cosγ)，其中（cosα，cosβ，cosγ）是l的方向向量
因此，当l的方向与梯度的方向一致时，方向导数取得最大
∴u在点（1，-1，2）处沿

l

=(2，-4，1)的方向导数最大．
且最大的方向导数值为|(2，-4，1)|=√(21)．