如何求球冠的曲面方程?已经球冠的底面半径,以及底面到顶点的距离

Question

如何求球冠的曲面方程?已经球冠的底面半径,以及底面到顶点的距离

Answer 1

球冠的曲面方程就是限制范围内的球面方程.主要是求出球半径R.
已知球冠的底面半径r,底面到顶点的距离h,则有大小球冠的可能,如图.
小球冠,AD=r,BD=h;CD=R-h>=0,AC=R.
在直角三角形ADC中,AC^2=AD^2+CD^2,即R^2=r^2+(R-h)^2.==>R=(r^2+h^2)/(2h), 
而R>=h==>r>=h>0.
大球冠,EF=r,BF=h;CF=h-R>0,EC=R.
在直角三角形EFC中,EC^2=EF^2+CF^2,即R^2=r^2+(h-R)^2.==>R=(r^2+h^2)/(2h), 
而Rh>r>0.
特殊地,球心C在原点,CB在z轴的正向上,球冠的曲面方程
x^2+y^2+z^2=R^2=(r^2+h^2)^2/(2h)^2,  (0=（一般的情形可通过特殊的情形旋转,平移得到,略.）