球体表面积的推导过程如何推导的呢?

Question

球体表面积的推导过程
如何推导的呢?

Answer 1

把一个半径为R的球的上半球切成n份,
每份等高并且把每份看成一个圆柱,
其中半径等于其底面圆半径
则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)*h
其中h=R/nr(k)=根号[R^-(kh)^]
S(k)=根号[R^-(kR/n)^]*2πR/n=2πR^*根号[1/n^-(k/n^)^]
则S(1)+S(2)+……+S(n)当n取极限（无穷大）的时候就是半球表面积
2πR^乘以2就是整个球的表面积4πR^
也可以积分的方式求得,积分是计算表面积和的最佳方式.
设球半径为R,表面积为S,
那么,S就相当于对球上圆的周长一般式积分,于是
S=2(S)2π(^(R^-x^))dx|(0,R)
=4π(S)(^(R^-x^))dx|(0,R)
=4πx^|(0,R)
=4πR^
其中,记号(S)表积分符,π表圆周率.x^表示x的平方