球体表面积公式证明1.我用把一个半球体分割成无数的圆柱体的方法求除了一个式子,可是有一个求和不会算,要求的那个东西我把他搞成了图片在下面的这个链接里：2.还有顺便问一下,我上面

Question

球体表面积公式证明
1.我用把一个半球体分割成无数的圆柱体的方法求除了一个式子,可是有一个求和不会算,
要求的那个东西我把他搞成了图片在下面的这个链接里：
2.还有顺便问一下,我上面图片里那个式子写lim n→∞的时候是不是写成lim n→+∞更规范些,还是说默认n为正的话可以简写成lim n→∞,
3.还有,有没有比较初等的证明球体表面积(是表面积不是体积)公式的方法,有的话也说下.
还有,本人目前只是高一,写的时候稍微照顾一下...
今晚8点前希望能搞定,现在是2月18日17点半.
一楼,那个在百度百科里有我看过了,我用的就是那个方法,可是它没讲清楚最后那个极限是怎么求的.

Answer 1

用^表示平方
把一个半径为R的球的上半球切成n份 每份等高
并且把每份看成一个圆柱,其中半径等于其底面圆半径
则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)*h
其中h=R/n r(k)=根号[R^-(kh)^]
S(k)=根号[R^-(kR/n)^]*2πR/n
=2πR^*根号[1/n^-(k/n^)^]
则 S(1)+S(2)+……+S(n) 当 n 取极限（无穷大）的时候就是半球表面积2πR^
乘以2就是整个球的表面积 4πR^