（22分）有一放在空气中的玻璃棒，折射率，中心轴线长，一端是半径为的凸球面。1．要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远

Question

（ 22 分）有一放在空气中的玻璃棒，折射率 ，中心轴线长 ，一端是半径为 的凸球面。

1 ．要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？

2 ．对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度 时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求 （此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）。

Answer 1

解析 ：

1. 对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图所示，图中 为左端球面的球心．

 

由正弦定理、折射定律和小角度近似得

        （ 1 ）

即                                          （ 2 ）

光线 射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心 一定在端面顶点 的左方， 等于球面的半径 ，如图所示， 仿照上面对左端球面上折射的关系可得

                                     （ 3 ）

又有                                       （ 4 ）

由（ 2 ）、（ 3 ）、（ 4 ）式并代入数值可得

                                         （ 5 ）

即右端为半径等于 5 的向外凸的球面．

2. 设从无限远处物点射入的平行光线用 ① 、 ② 表示，令 ① 过 ， ② 过 ，如图 所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点 ，即为左端球面对此无限远物点成的像点．现在求 点的位置。在 中

                   （ 6 ）

又                                      （ 7 ）

已知 ， 均为小角度，则有

                                     （ 8 ）

与（ 2 ）式比较可知， ，即 位于过 垂直于主光轴的平面上．上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过 点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线．容易看出，从 射出 的光线将沿原方向射出，这也就是过 点的任意光线（包括光线 ① 、 ② ）从玻璃棒射出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为 ，由图 可得

                  （ 9 ）

由（ 2 ）、（ 3 ）式可得

作业帮用户 2017-04-06