一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=30°，如图所示，一条长度为l的轻绳，一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着着一个质量为m的小

Question

一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角
θ=30°，如图所示，一条长度为l的轻绳，一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着着一个质量为m的小物体（可视为质点）．物体以速率υ绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动．则：
①当υ＝√((gl)/(4))时，绳的拉力大小为多少？
②当υ＝√((3)/(2)gl)时，绳的拉力大小为多少？

Answer 1

当物体刚离开锥面时，设其速度为v₀，则根据牛顿第二定律得：Tcosθ-mg=0，
由拉力与重力的合力提供向心力，则有：mgtanθ=m(v20)/(lsinθ)
解之得：v₀=√((√(3))/(6)gl)
①v=√((gl)/(4))＜v₀，则球会受到斜面的支持力，因此由支持力、重力与拉力的合力提供向心力．
对球受力分析，如图所示，则有
 T₁sinθ-N₁cosθ=m(v2)/(lsinθ)①
 T₁cosθ+N₁sinθ=mg ②
由①②联式解之得：T₁=(1+2√(3))/(4)mg；
②v=√((3)/(2)gl)＞v₀，球离开斜面，只由重力与拉力的合力提供向心力，且细绳与竖直方向夹角已增大．
如图所示，设线与竖直方向上的夹角为α，
 T₂sinα=m(v2)/(lsinα) ③
 T₂cosα=mg  ④
由③④联式解得：T₂=2mg．
答：
①当υ＝√((gl)/(4))时，绳的拉力大小为(1+2√(3))/(4)mg．
②当υ＝√((3)/(2)gl)时，绳的拉力大小为2mg．