如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PE⊥AD；（Ⅲ）若CA=CB，求证：平面PEC⊥平面PAB．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．
（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：PE⊥AD；
（Ⅲ）若CA=CB，求证：平面PEC⊥平面PAB．

Answer 1

（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，
所以CD∥AB．
又因为CD⊄平面PAB，
所以CD∥平面PAB．
（Ⅱ）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，
所以PE⊥AB，
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，
所以PE⊥平面ABCD，
因为AD⊂平面ABCD，
所以PE⊥AD．
（Ⅲ）因为CA=CB，点E是棱AB的中点，
所以CE⊥AB，
由（Ⅱ）可得PE⊥AB，
所以AB⊥平面PEC，
又因为AB⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PEC．