已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（1）求PB的长；（2）求证：AC⊥平面PBD．

Question

已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．

（1）求PB的长；
（2）求证：AC⊥平面PBD．

Answer 1

（1）连接BD，
∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．
∴PD⊥BD，DB=√(AD2+AB2)=2√(2)，
∴PB=√(PD2+BD2)=√(22+8)=2√(3)，
（2）连接AC，
∵PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD，BD⊂平面PBD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD．