如图所示，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC-A1B1C1中，AB=8，AC=6，BC=10，D是BC边的中点．（1）求证：AB⊥A1C；（2）求证：A1C∥平面AB1D．

Question

如图所示，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AB=8，AC=6，BC=10，D是BC边的中点．
（1）求证：AB⊥

A

1

C；   
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

证明：（1）∵AB=8，AC=6，BC=10，
∴AB²+AC²=BC²
∴AB⊥AC，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABCAB⊂面ABC，
∴AA₁⊥AB
又∵AA₁∩AC=AAA₁⊂面A₁ACC₁AC⊂面A₁ACC₁
∴AB⊥平面A₁ACC₁
且A₁C⊂面A₁ACC₁
∴AB⊥A₁C．
（2）连结A₁B交AB₁于点E，再连结DE，
∵D是BC边的中点．
∴DE为△BCA₁的中位线，
∴ED∥A₁C，
∵ED⊂平面AB₁D，且A₁C⊄平面AB₁D，
∴A₁C∥面AB₁D．