如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，平面ABD和平面A1B1C的交线为MN．（Ⅰ）试证明AB∥MN；（Ⅱ）若直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°，试求二面角A-BD-C的大小．

Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，平面ABD和平面A₁B₁C的交线为MN．
（Ⅰ）试证明AB∥MN；
（Ⅱ）若直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°，试求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

证明：（Ⅰ）由题意AB∥A₁B₁，
又A₁B₁⊂平面CA₁B₁，AB∉平面CCA₁B₁，∴AB∥平面CA₁B₁
又AB⊂平面DAB，平面DAB∩平面CA₁B₁=MN，∴AB∥MN

（Ⅱ）取BC中点E，连AE，过E作EF⊥BD于F，连AF．
∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥侧面BB₁C₁C，且交线为BC
∴AE⊥侧面BB₁C₁C
又EF⊥BD，AF⊥BD
∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角
连ED，则直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为∠ADE=45°．
设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为x．则在Rt△AED中，
tan45°＝(AE)/(ED)＝(√(3))/(√(1+(x2)/(4)))解得x＝2√(2)．
此正三棱柱的侧棱长为2√(2)
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1，sin∠EBF=(CD)/(BD)＝(√(3))/(3)，
EF=(√(3))/(3)．又AE＝

作业帮用户 2017-11-02

问题解析

（1）要证线线平行，可先证线面平行，再根据线面平行的性质，证明线线平行；
（2）求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角，再利用解三角形的办法解答．

名师点评

本题考点：

空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评：

（1）对于已知条件中出现了（或容易证明）有关的面面平行的问题，往往就要紧紧围绕着面面平行的性质，从而得到线线（或线面）平行，从而将问题解决．
（2）求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AFE为二面角A-BD-C的平面角，通过解∠AFE所在的三角形求得∠AFE．其解题过程为：作∠AFE→证∠AFE是二面角的平面角→计算∠AFE，简记为“作、证、算”．

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