如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱SD=2，SA=22，∠SDC=120°．（1）求证：侧面SDC⊥底面ABCD；（2）求侧棱SB与底面ABCD所成角的正弦值．

Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱SD=2，SA=2√(2)，∠SDC=120°．

（1）求证：侧面SDC⊥底面ABCD；
（2）求侧棱SB与底面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：∵SD=2，SA=2√(2)，
∴AD⊥SD，又AD⊥CD，CD⊂侧面SDC，SD⊂侧面SDC，
且SD∩CD=D，
∴AD⊥侧面SDC．
又AD⊂底面ABCD，故侧面SDC⊥底面ABCD．（7分）
（2）如图，过点S作直线CD的垂线交CD的延长线于点E，
由（1）可知SE⊥底面ABCD，则∠SBE是侧棱SB与底面ABCD所成角．
∵∠SDC=120°，
∴∠SDE=60°，又SD=2，
故SE＝√(3)，DE＝1，
则BE＝√(32+22)＝√(13)，
故SB=4．
则sin∠SBE＝(SE)/(BE)＝(√(3))/(4)，
故侧棱SB与底面ABCD所成角的正弦值为(√(3))/(4)．（14分）