已知正四棱锥的相邻两侧面的夹角为120°，它的底面边长为a,求（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长.

Question

已知正四棱锥的相邻两侧面的夹角为120°，它的底面边长为a,

求（1）棱锥的高；

（2）斜高；

（3）侧棱长.

 

Answer 1

过S作SO⊥底面AC，SG⊥BC，O、G为垂足，过点A作AE⊥SB，垂足为E，连结CE.

∵△SAB≌△SBC，

∴CE⊥SB

∴∠AEC为侧面SAB与侧面SBC所成二面角的平面角.

∴∠AEC=120°，连结EO

∵AO=CO，AE=EC

∴∠AEO=60°

Rt△BOG中，BG=a,∠OBG=45°.

∴BO=a

在Rt△AOE中，OE=,

∴AE=EC=a,

BE=,

∵∠CBE=∠SBG,∠SGB=∠CEB=90°,

Rt△SBG∽Rt△CBE,

∴

∴SG=

在Rt△SBG中，

SB=

在Rt△SOG中，SO=

∴棱锥的斜高为a,高为a,侧棱长为a.