一个斜三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长5，若其中一条侧棱与底面三角形的相邻两边都成60°角，则这个三棱柱的体积是（）A．5033B．203C．5023D．202

Question

一个斜三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长5，若其中一条侧棱与底面三角形的相邻两边都成60°角，则这个三棱柱的体积是（　　）

A．(50√(3))/(3)
B．20√(3)
C．(50√(2))/(3)
D．20√(2)

Answer 1

过A₁作A₁O⊥平面ABC，
∵∠A₁AC=∠A₁AB=60°，
∴AO是∠BAC的平分线，
∵△ABC是等边三角形，∴AO⊥BC，
∴AA₁⊥BC，∴BC⊥BB₁，
∴平面BB₁C₁C是矩形，
过O作OE⊥AB，连接A₁E，由三垂线定理知A₁E⊥AB，
在△A₁AE中，A₁E=AA₁sin60°=5×(√(3))/(2)，AE=5×(1)/(2)=(5)/(2)，
在Rt△OAE中，∠OAE=30°，∴OE=AE×tan30°=(5)/(2)×(√(3))/(3)=(5)/(6)√(3)，
∴h=OA′=√(A1E2−OE2)=(5√(6))/(3)，
∴V=S_△ABC×h=(1)/(2)×4×4×(√(3))/(2)×(5√(6))/(3)=20√(2)．
故选D．
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