垂直关系1.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E,F分别是AB,CD的中点(1)求证:CD⊥PD(2)若PA=PD,求证:EF⊥平面PCD2.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=2,点E在CC1上且C1E=3EC,求证:A1C⊥平面BED第1

Question

垂直关系
1.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E,F分别是AB,CD的中点
(1)求证:CD⊥PD
(2)若PA=PD,求证:EF⊥平面PCD
2.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=2,点E在CC1上且C1E=3EC,求证:A1C⊥平面BED
第1题中是PA=AD E,F分别是AB,PC的中点

Answer 1

1:
1):
因为CD⊥PA,CD⊥DA,DA\PA属于面PAD,所以CD⊥面PAD,因为PD属于面PAD,所以CD⊥PD
2):因为E,F分别是AB,PC的中点,三角形PAE和三角形EBC全等,所以PE=EC,所以三角形PEC是等腰三角形.因为F是PC中点,所以EF⊥PC.因为EF⊥AB,AB平行CD,所以EF⊥CD,因为CD\PC属于面PCD,所以EF⊥面PCD
2:
以D为原点,DA为X轴正方向,DC为Y轴正方向,DD1为Z轴正方向建立空间直角坐标系
向量A1C=(-2,2,-4),向量BE=(-2,0,1),向量DB=(2,2,0)
A1C*BE=0,A1C*DB=0,所以A1C⊥BE,A1C⊥DB,因为BE\DB属于面BED,所以A1C⊥面BED