如图，三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是的中点（1）求证：∥平面；（2）求证：⊥平面；（3）求三棱锥的体积的体积．

Question

如图，三棱柱 中，侧棱与底面垂直， ， ， 分别是 的中点

（1）求证： ∥平面 ；
（2）求证： ⊥平面 ；
（3）求三棱锥的体积 的体积．

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3） .

试题分析：本题主要以三棱柱为几何背景考查线面平行、线面垂直和几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，先根据题意作出辅助线，在 中，利用中位线的性质得 ，再由线面平行的判定，得证；第二问，由已知条件可以判断四边形 是正方形，所以对角线互相垂直，所以 ，又由于第一问得 ，所以 ，再由已知证 即可，由已知边长，得 ，所以 ，所以 为等腰三角形，而 为中点，所以 为高，得证，再利用线面垂直的判定即可得证；第三问，利用等体积法将三棱锥进行转化，找到已知条件求体积.
试题解析：（1）证明：连结 ，显然 过点
∵ 分别是 的中点,    ∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
（2）∵三棱柱 中，侧棱与底面垂直， ，
∴四边形 是正方形，∴ ，
由（1）知 ，∴ ，
连结 ，由 ，知 ，
∴ ，又易知 是 的中点，∴ ，
∴ 平面 .
（3）因为

作业帮用户 2017-10-17

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