如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°，O为AB中点．（1）证明：AB⊥A1C；（2）若AB=CB=2，A1C=6，求证：A1O⊥平面ABC．

Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，O为AB中点．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）若AB=CB=2，A₁C=√(6)，求证：A₁O⊥平面ABC．

Answer 1

（1）由于AB的中点O，连接OC、OA₁，
因为CA=CB，所以OC⊥AB．
由于AB=A A₁，∠BA A₁=60⁰，故△AA₁B为等边三角形，
所以OA₁⊥AB．
OC∩OA₁=O，∴AB⊥平面A₁OC，而A₁C⊂平面A₁OC，∴AB⊥A₁C．
（2）由题设知△ABC与△AA₁B 都是边长为2的等边三角形，
所以，∴OC＝OA1＝√(3)，又 A1C＝√(6)，则A1C2＝OC2+OA12，∴OA₁⊥OC．
∵OC∩AB=C，∴A₁O⊥平面ABC．