如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1，∠BCC1=π3，BB1=2．（1）求证：平面AC1B⊥平面ABC；（2）试在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1．

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，∠BCC₁=(π)/(3)，BB₁=2．

（1）求证：平面AC₁B⊥平面ABC；
（2）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁．

Answer 1

（1）证明：在△BCC₁中，
∵BC=1，B₁C=BB₁=2，∠BCC₁=(π)/(3)，
∴BC₁=√(1+4−2×1×2×(1)/(2))=√(3)，
∴∠CBC₁=90°，∴BC⊥BC₁，
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，BC₁⊂面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴BC₁⊥平面ABC，
∵BC₁⊂平面AC₁B，
∴平面AC₁B⊥平面ABC．
（2）如图1，EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，
从而B₁E⊥平面ABE，且BE⊂平面ABE，故BE⊥B₁E，
不妨设CE=x，则C₁E=2-x，则BE²=1+x²-x，
又∵∠B1C1C=(2)/(3)π，∴B₁E²=1+x²+x，
在Rt△BEB₁中有x²+x+1+x²-x+1=4，从而x=±1（舍负），
故E为CC₁的中点时，EA⊥EB₁．