如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．

Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁=2，M，N分别为AC，B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求线段MN的长；
（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB₁A₁；
（Ⅲ）线段CC₁上是否存在点Q，使A₁B⊥平面MNQ？说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）连接CN，因为ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以CC₁⊥平面ABC，所以AC⊥CC₁，…（2分）
因为AC⊥BC，所以AC⊥平面BCC₁B₁．               …（3分）
因为MC=1，CN=√(CC12+C1N2)=√(5)，
所以MN=√(6)    …（4分）
（Ⅱ）证明：取AB中点D，连接DM，DB₁                      …（5分）
在△ABC中，因为M为AC中点，所以DM∥BC，DM=(1)/(2)BC．
在矩形B₁BCC₁中，因为N为B₁C₁中点，所以B₁N∥BC，B₁N=(1)/(2)BC．
所以DM∥B₁N，DM=B₁N．所以四边形MDB₁N为平行四边形，所以MN∥DB₁．        …（7分）
因为MN⊄平面ABB₁A₁，DB₁⊂平面ABB₁A₁…（8分）
所以MN∥平面ABB₁A₁．                                  …（9分）
（Ⅲ）线段CC₁上存在点Q，且Q为CC₁中点时，有A₁B⊥平面MNQ． …（11分）
证明如下：连接BC₁，
在正方形BB₁C₁C中易证QN⊥BC₁．
又A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，所以A₁C₁⊥QN，从而NQ⊥平面A₁BC₁．…（12分）
所以A₁B⊥QN．                                         …（13分）
同理可得A₁B⊥MQ，所以A₁B⊥平面MNQ．
故线段CC₁上存在点Q，使得A₁B⊥平面MNQ．             …（14分）