如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，P，Q分别是AA1，B1C1上的点，且AP=3A1P，B1C1=4B1Q．（1）求证：PQ∥平面ABC1；（2）若AB=AA1，BC=3，AC1=3，BC1=13，求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P，Q分别是AA₁，B₁C₁上的点，且AP=3A₁P，B₁C₁=4B₁Q．

（1）求证：PQ∥平面ABC₁；
（2）若AB=AA₁，BC=3，AC₁=3，BC₁=√(13)，求证：平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．

Answer 1

证明：（1）在BB₁取点E，使BE=3EB₁，连结PE、QE，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P，Q分别是AA₁，B₁C₁上的点，且AP=3A₁P，B₁C₁=4B₁Q，
∴PE∥AB，QE∥BC₁，
∵AB∩BC₁=B，PE∩QE=E，AB、BC₁⊂平面ABC₁，
PE、QE⊂平面PQE，
∴平面ABC₁∥平面PQE，
∵PQ⊂平面PQE，∴PQ∥平面ABC₁．
（2）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴AB⊥CC₁，BC⊥CC₁，
∵AB=AA₁，BC=3，AC₁=3，BC₁=√(13)，
∴AB=AA₁=CC₁=√(13-9)=2，AC=√(AC12-CC12)=√(9-4)=√(5)，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
又AC∩CC₁=C，∴AB⊥平面AA₁C₁C，
∵AB⊂平面ABC₁，∴平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．