空间有n个平面,任意3个平面交于一点,无4平面共点.问这样的n个平面将空间分割成多少个不重叠的域?

Question

空间有n个平面,任意3个平面交于一点,无4平面共点.问这样的n个平面将空间分割成多少个不重叠的域?

Answer 1

2楼的分析是正确的.
我可以从几何上证明一下这个结论.
首先我们假设n-1个平面满足题设要求．
假设n-1个平面分出N个区域．
现考虑添加第n个平面,因为无论怎么添加,
只要满足任意3个平面交于一点,无4平面共点．则所围的区域数量是一样的．所以,我们可以添加第n个平面满足以下要求．
即：前n-1个平面任意3平面的交点,都在第n个平面的同一侧．
n-1个平面和第n个平面交出n-1条线．
考虑在第n个平面的另一侧的图象,得到添加第n个平面所增加的区域数,等于n-1条线在第n个平面所围出的面的个数．
正好是1+（n－1）(n)/2
这也就是为什么楼上可以得到：
”而第三列的数等于它上面的数与它左上的数的和”
最后求和就可以得到出楼上的结论．