已知直线l的参数方程为x=1+tcosαy=tsinα（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）证明：不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共

Question

已知直线l的参数方程为

x=1+tcosα

y=tsinα

（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅰ）证明：不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点；
（Ⅱ）以α为参数，求直线l与曲线C相交所得弦AB的中点轨迹的参数方程．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4，
直线l的参数方程为

x=1+tcosα

y=tsinα

（t为参数）代入x²+y²=4，
得：t²+2tcosα-3=0，（*）
由△=（2cosα）²-4×（-3）>0，
知方程（*）恒有两个不相等实根，
故不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点．
（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点A，B对应的参数分别为t₁，t₂，
弦AB的中点P对应的参数为t₀，
则由（*）可知：t0=(t1+t2)/(2)=-cosα，
代入

x=1+tcosα

y=tsinα

中，
整理得弦AB的中点的轨迹方程为

x=1-cos2α

y=-sinαcosα

，
∴弦AB的中点轨迹的参数方程为

x=(1-cos2α)/(2)

y=-(1)/(2)sin2α

，（α为参数）．