以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为（2，π4），直线l过点P，且倾斜角为2π3，方程x236+

Question

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为（

2

， (π)/(4) ），直线l过点P，且倾斜角为 (2π)/(3) ，方程 (x2)/(36) +(y2)/(16) =1所对应的曲线经过伸缩变换

x′=(1)/(3) x

y′=(1)/(2) y

后的图形为曲线C．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程．
（Ⅱ）直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

（Ⅰ）P的直角坐标为（1，1）
∵直线l过点P，且倾斜角为 (2π)/(3) ，∴直线l的参数方程为

x=1-(1)/(2) t

y=1+(3)/(2) t

（t为参数）
∵伸缩变换

x′=(1)/(3) x

y′=(1)/(2) y

，∴

x=3x′

y=2y′

代入 (x2)/(36) +(y2)/(16) =1，可得 ((3x′ )2)/(36) +((2y′ )2)/(16) =1 ，即x′ ² +y′ ² =4
∴曲线C的直角坐标系方程为x ² +y ² =4；
（Ⅱ）直线l的参数方程为

x=1-(1)/(2) t

y=1+(3)/(2) t

，代入曲线C可得t ² +（

3

-1 ）t-2=0
设方程的根为t ₁ ，t ₂ ，则t ₁ +t ₂ =

3

-1 ；t ₁ t ₂ =-2
∴|PA|•|PB|=|t ₁ ||t ₂ |=2