如图所示，一块光滑的平板能绕水平固定轴HH’调节其与水平面所成的倾角．板上一根长为l=l.00m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在HH’轴上的O点．当平板的倾角固

Question

如图所示，一块光滑的平板能绕水平固定轴HH’调节其与水平面所成的倾角．板上一根长为l=l.00m 的轻细绳，它的一端系住一质量为m 的小球 P，另一端固定在HH’轴上的 O 点．当平板的倾角固定在 a 时，先将轻绳沿水平轴HH’拉直（绳与HH’重合），然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v₀=5.0m/s．若小球能保持在板面内作圆周运动，问倾角 a 的值应在什么范围内（取图中 a 处箭头所示方向为a的正方向）．取重力加速度g=10m/s²．

Answer 1

当光滑平板与水平面的倾角为α时，无论小球P处在斜面上什么位置，它受的重力在斜面上的投影总是垂直于HH′，大小总是等于mgsinα，以此作为重力的一个分力，则重力的另一个分力即垂直于斜面的分力mgcosα总是与斜面对小球P的支持力平衡，这样，小球P在斜面内只受上述重力的分量mgsinα和细绳拉力的作用．
当小球P运动到圆周的最高点时，细绳垂直于HH′，绳的拉力与小球所受重力的分量mgsinα沿同一直线，这时细绳只要不松弛，小球就能保持在板面内作圆周运动，设小球到达圆周最高点时的速度为v，绳的拉力为T，有：
T+mgsinα=m(v2)/(l)…①
由能量关系，有：
(1)/(2)m

v

2 0

=(1)/(2)mv2+mglsinα…②
由①②式得：T=m（(v20)/(l)-3gsinα）…③
细绳不松弛的条件是：T≥0…④
由③④式得：α≤arcsin（(v20)/(3lg)）…⑤
代入有关数据，得：α≤arcsin（(5)/(6)）…⑥
当倾角α＜0时，经相同的分析可得：α≥-arcsin（(5)/(6)）…⑦
由⑥⑦两式，可知α的取值范围为：-arcsin（(5)/(6)）≤α≤arcsin（(5)/(6)）…⑧
答：倾角α的取值范围应在-arcsin（(5)/(6)）≤α≤arcsin（(5)/(6)）．