在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1和直线C2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=4bbcosθ+4sinθ（b∈R）．（1）求圆C1和直线C2的直角坐标方程，并求直线C2被

Question

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C₁和直线C₂的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=(4b)/(bcosθ+4sinθ)（b∈R）．
（1）求圆C₁和直线C₂的直角坐标方程，并求直线C₂被圆C₁所截的弦长；
（2）过原点O作直线C₂的垂线，垂足为点A，求线段OA的中点M的轨迹的参数方程．

Answer 1

（1）圆C₁ 的极坐标方程ρ=4cosθ，化为直角坐标方程为 （x-2）²+y²=4，
表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．
直线C₂的极坐标方程 ρ=(4b)/(bcosθ+4sinθ)（b∈R）化为直角坐标方程为 bx+4y-4b=0，
求得弦心距为 d=(|2b+0−4b|)/(√(b2+16))=(2|b|)/(√(b2+16))，故弦长为2√(r2−d2)=(16)/(√(b2+16))．
（2）设线段OA的中点M（x，y），
则点A（2x，2y），设曲线C₂于x轴的交点D，则点D（4，0）．
∴

OA

=（2x，2y），

DA

=（2x-4，2y），
∵

OA

⊥

DA

，∴

OA

•

DA

=4x（x-2）+4y²=0．
化简可得 （x-1）²+y²=1，即点M的轨迹的参数方程为

x＝1+cosα

y＝sinα

 （α为参数，0≤α＜2π）．