在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+tcosαy=3+tcosα（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，曲线C的方程ρ=8sinθ．（

Question

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=1+tcosα

y=3+tcosα

（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，曲线C的方程ρ=8sinθ．
（1）求曲线C的直角坐标系方程；
（2）若点P（1，3），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

（1）由ρ=8sinθ，得ρ²=8ρsinθ，化为直角坐标方程为x²+y²=8y，x²+（y-4）²=16
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t²+2（cosα-sinα）t-12=0，
由△=4（cosα-sinα）²+48>0，△=（2cosα-2sinα）²+4×7>0，
故可设t₁，t₂上上述方程的两根，
所以

t1+t2=-2(cosα-sinα)

t1t2=-12

，又直线过点（1，3），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1+t2|=|t1-t2|=√((t1+t2)2-4t1t2)
=√(4(cosα-sinα)2+48)=√(52-4sin2α)≥4√(3)，
所以PA|+|PB|的最小值为4√(3)．