在极坐标系中，点M坐标是（3，π2），曲线C的方程为ρ=22sin(θ+π4)；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是-1的直线l经过点M

Question

在极坐标系中，点M坐标是（3， (π)/(2) ），曲线C的方程为 ρ=2

2

sin(θ+(π)/(4) ) ；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是-1的直线l 经过点M．
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

（1）∵点M的直角坐标是（0，3），直线l倾斜角是135 ⁰ ，…（1分）
∴直线l参数方程是

x=tcos 135 0

y=3+tsin 135 0

，即

x=-(2)/(2) t

y=3+(2)/(2) t

，…（3分）
ρ=2

2

sin(θ+(π)/(4) ) 即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ化简得x ² +y ² -2x-2y=0，∴曲线C
的直角坐标方程为x ² +y ² -2x-2y=0；…（5分）
（2）

x=-(2)/(2) t

y=3+(2)/(2) t

代入x ² +y ² -2x-2y=0，得 t 2 +3

2

t+3=0 ，
∵△＞0，∴直线l和曲线C相交于两点A、B，…（7分）
设 t 2 +3

2

t+3=0 的两个根是t ₁ ，t ₂ ，t ₁ t ₂ =3，
∴|MA|•|MB|=3．                  …（10分）