求心形线r=a(1+cosθ)(a>0)绕极轴旋转所围成的立体的侧面积

Question

求心形线r=a(1+cosθ)(a>0)绕极轴旋转所围成的立体的侧面积

Answer 1

考虑半个心形线（θ属于0到180度）,每一段弧元（ds=sqrt(dr^2+(rdθ)^2)）绕极轴转成一个梯形环面元,面积等于2πR*ds,R是该弧到极轴的距离：
R=rsinθ.
所以立体的侧面积就是：
2πRds的积分,把上面的R和ds代入,并利用条件代入r的表达式.
结果得到一个不太复杂的形式：
2sqrt(2)πa^2(1+cosθ)^(3/2)dθ
把积分变量代换成θ/2,可以比较容易地解出定积分式:
16πa^2*（x-x^3/3）,x=sin(θ/2)
总的表面积是从0到π的积分.当然,如果说心形线凹进去的部分不算侧面积,只要求出沿极轴方向离顶点最远的点的θ=2π/3,并把它做为积分上限即可.
结果分别是：
(32πa^2)/3 和 6sqrt(3)πa^2