在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=31+2sin2θ，点R（22，π4）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角

Question

在极坐标系中，曲线C的方程为ρ²=(3)/(1+2sin2θ)，点R（2√(2)，(π)/(4)）．
（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．

Answer 1

（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，
则：曲线C的方程为ρ²=(3)/(1+2sin2θ)，转化成(x2)/(3)+y2=1．
点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．
（Ⅱ）设P（√(3)cosθ，sinθ）
根据题意，得到Q（2，sinθ），
则：|PQ|=2-√(3)cosθ，|QR|=2-sinθ，
所以：|PQ|+|QR|=4-2sin(θ+(π)/(3))．
当θ=(π)/(6)时，（|PQ|+|QR|）_min=2，
矩形的最小周长为4，点P（(3)/(2)，(1)/(2)）．