总体X服从参数为λ的泊松分布，λ（λ＞0）未知，求参数λ的最大似然估计量．

Question

总体X服从参数为λ的泊松分布，λ（λ＞0）未知，求参数λ的最大似然估计量．

Answer 1

∵X服从参数为λ的泊松分布
∴P(X＝m)＝(λm)/(m!)e−λ，（m=0，1，2，…）
设x₁，x₂，…x_n是来自总体的一组样本观测值
则最大似然函数为
L（x₁，x₂，…，x_n；λ）=

n

π

i＝1

(λxi)/(xi!)e−λ=e−nλ

n

π

i＝1

(λxi)/(xi!)
∴lnL＝−nλ+

n

i＝1

(xilnλ−lnxi)
∴(dlnL)/(dλ)＝−n+

n

i＝1

(xi)/(λ)
令(dlnL)/(dλ)＝0
解得λ＝(1)/(n)

n

i＝1

xi＝

.

x

即λ的最大似然估计量

∧

λ

＝

.

x