已知p(3,4)为圆c:x^2+y^2=64内一定点,圆周上有两个动点A,B满足向量PA乘向量PB=0求弦AB中点M的轨迹方程

Question

已知p(3,4)为圆c:x^2+y^2=64内一定点,圆周上有两个动点A,B满足向量PA乘向量PB=0
求弦AB中点M的轨迹方程

Answer 1

题目应该明确说明是"向量PA点乘向量PB=0".
设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).设中点M的坐标为(x,y),则
x1+x2=2x ①
y1+y2=2y ②
由于向量PA点乘向量PB=0,所以PA⊥PB于P,
由勾股定理有(/AB/)^2=(/AP/)^2+(/BP/)^2,
即(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(x1-3)^2+(y1-4)^2+(x2-3)^2+(y2-4)^2
即-2(x1x2+y1y2)=-6(x1+x2)-8(y1+y2)+50
所以x1x2+y1y2=3(x1+x2)+4(y1+y2)-25 ③
①②代入③,得到x1x2+y1y2=6x+8y-25 (*)
由于A,B都在圆c:x^2+y^2=64上,所以有
(x1)^2+(y1)^2=64 ④
(x2)^2+(y2)^2=64 ⑤
④+⑤,得到(x1+x2)^2-2x1x2+(y1+y2)^2-2y1y2=128 ⑥
①②代入⑥,得到4x^2+4y^2-2(x1x2+y1y2)=128
即2（x^2+y^2)-64=x1x2+y1y2 (**)
由(*)(**)得到弦AB中点M的轨迹方程为2x^2-6x+2y^2-8y-39=0
由于M在圆c:x^2+y^2=64内,所以-8