曲面z=x^2+y^2在点M（1,2,5）处的法线方程是=微分得到dz=2xdx+2ydy,即(2x,2y,-1)点乘(dx,dy,dz)为0(2x,2y,-1)即为法线方向向量带入M点,得到法线(x-1)/2=(y-2)/4=-(z-5)为什么(2x,2y,-1)即为法线方向向量?

Question

曲面z=x^2+y^2在点M（1,2,5）处的法线方程是=____________
微分得到
dz=2xdx+2ydy,即(2x,2y,-1)点乘(dx,dy,dz)为0
(2x,2y,-1)即为法线方向向量
带入M点,得到法线
(x-1)/2=(y-2)/4=-(z-5)
为什么 (2x,2y,-1)即为法线方向向量?

Answer 1

dz=2xdx+2ydy
换个形式写,就是 (x',y',z')→(x,y,z)时
2x(x'-x)+2y(y'-y)-(z-z')→0
(2x,2y,-1)·(x'-x,y'-y,z'-z)→0
其中(x'-x,y'-y,z'-z)是曲面上的两点连线
=总是与向量(2x,2y,-1)垂直（当(x',y',z')逼近(x,y,z)时）
因此(2x,2y,-1)就是法向量